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【応用数学】微分方程式の応用例：工学編【微分方程式②】

数学

本日も、りけいのりからお届けします。

前回に続き，今回も微分方程式の応用例を紹介していきます．

今回は，工学（電気回路・材料力学・機械力学）で応用されている微分方程式の具体例を紹介していきます

今回も目標は，

「微分方程式のイメージがつかめた気がする！！」

「微分方程式ってこういう場面で使うんだ！！」

となることです．

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微分方程式の例３：電気回路（RLC回路）
微分方程式の例４：材料力学（たわみの微分方程式）
微分方程式の例５：機械力学（1自由度系）
おわりに
参考文献

微分方程式の例３：電気回路（RLC回路）

以下のような電気回路があるとする．時間 $\displaystyle{t}$ に対する入力電圧を $\displaystyle{e(t)}$ ，流れる電流を $\displaystyle{i(t)}$ とする．

f:id:ReK2Science:20201002181412p:plain

この時に，以下の関係があります．

$\displaystyle{ e(t) = Ri(t) + L\frac{di(t)}{dt} +\frac{1}{C}\int i(t) dt }$

この解法は，省略しますが，過渡応答や伝送回路の授業で計算することがあると思います．また普通の電気回路では，正弦波交流での三角関数の加減算の計算が難解なので，よく複素数を応用しますね！

微分方程式の例４：材料力学（たわみの微分方程式）

以下のように，ヤング率 $\displaystyle{E}$ ，断面2次モーメント $\displaystyle{I}$ ，長さ $\displaystyle{l}$ の片持ちばりがあります．自由端に集中荷重 $\displaystyle{W}$ が作用するとする．

f:id:ReK2Science:20201002181336p:plain — 荷重によるたわみ

このとき，はりの断面に作用する曲げモーメント $\displaystyle{M(x)}$ は，

$\displaystyle{ M(x) = -Wx }$

と表せる．この時たわみ $\displaystyle{v}$ は，

$\displaystyle{ \frac{d^2v}{dx^2} = -\frac{M(x)}{EI} = -\frac{W}{EI}x }$

と表せます．この式は，たわみの微分方程式と呼ばれます．この解法は，二階積分していく簡単に解くことができます！この場合，境界条件は，

$\displaystyle{ x = l }$ の時， $\displaystyle{ v = 0 }$ , $\displaystyle{ \frac{dv}{dx} = 0 }$

となりますので，たわみ $\displaystyle{v}$ は，

$\displaystyle{ v = \frac{W}{6EI}(x^3 -3l^2x +2l^3) }$

となります．さらに，たわみの最大 $\displaystyle{v_max}$ は，自由端の $\displaystyle{ x = 0 }$ に生じるので，

$\displaystyle{ v_max = \frac{Wl^3}{3EI} }$

となります．

この式により，はりに荷重が加わるときのたわみを解くことができます！

※初期条件と境界条件

この問題では，「初期条件」ではなく，「境界条件」という言葉を使っています．両方，微分方程式を解くうえでは，一般解から特殊解を求める際に利用します．しかし，工学上は，時間に対する条件なのか，空間に対する条件なのか，で使い分けがあるそうです．

微分方程式の例５：機械力学（1自由度系）

振動の解析では，振動系のモデル化から，運動方程式の導出・解法を行います．以下の図は，ばねとダンパによる1自由度系と呼ばれます．

f:id:ReK2Science:20200927001057p:plain — 1自由度系における振動

この時の運動方程式は，

$\displaystyle{ m \frac{d^2x}{dt^2} = -kx -c\frac{dx}{dt} }$

こうなります．この微分方程式は，定数係数線形斉次微分方程式と呼ばれます．この一般解は簡単に求めることができます．ですが，場合分けを行う必要があります．ここでは，不足減衰と呼ばれる場合を紹介します．一般解は以下のようになります．

$\displaystyle{ \zeta = \frac{c}{2\sqrt{mk}} }$

$\displaystyle{ p = w_n \sqrt{1 - \zeta^2} }$

とすると，積分定数を $\displaystyle{X}$ ， $\displaystyle{\alpha}$ として，

$\displaystyle{ x = Xe^{ - \zeta w_nt } cos(pt - \alpha) }$

となります．そして，この以下の図のようなグラフとなります．

f:id:ReK2Science:20200926235834p:plain — 様々な振動

このグラフは， $\displaystyle{\zeta}$ の値により，形が変わります．

このように，微分方程式を解き，振動の様子を検証することができます！

おわりに

いかがでしたか?

今回は，工学（電気回路・材料力学・機械力学）で応用されている微分方程式の具体例を紹介していきました．

微分方程式は，たくさんの分野で応用されていますね．

しかし，まだまだこんなものではありません．今回紹介しきれなかった応用例はたくさんあります．

少しは，

「微分方程式のイメージがつかめた気がする！！」

「微分方程式ってこういう場面で使うんだ！！」

となりましたか？

そして，ようやく次回から，詳しい微分方程式の解法を紹介していきます！

▽前回の記事▽

本日も、りけいのりがお届けしました。

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参考文献

１）矢野健太郎　石原繁　（1981），基礎解析学（改訂版）第38版，裳華房

２）高遠節夫　ほか　（2014），新応用数学　4版，大日本図書

３）馬場敬之　，スバラシク実力がつくと評判の力学キャンパス・ゼミ　改訂２，マセマ

４）西巻正郎　森武昭　荒井俊彦　（1990），電気回路の基礎（第三版），森北出版株式会社

５）西巻正郎　下川博文　奥村万規子　（1995），続　電気回路の基礎（第三版），森北出版株式会社

６）西村尚　（1988），ポイントを学ぶ材料力学（第36版），丸善出版

７）西村尚　（2004），機械力学（第12版），コロナ社